关于中国邮递员问题和欧拉图应用
中国邮递员问题 1962年有管梅谷先生提出中国邮递员问题（简称CPP）。一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，可重复走一条街道，然后返回邮局。任何选择一条尽可能短的路线。 这个问题可以转化为：给定一个具有非负权的赋权图G， 用添加重复边的方法求G的一个Euler赋权母图G*，使得尽可能小。 求G*的Euler 环游。 人们也开始关注另一类似问题，旅行商问题（简称TSP）。TSP是点路优化问题，它是NPC的。而CPP是弧路优化问题，该问题有几种变形，与加权图奇点的最小完全匹配或网络流等价，有多项式算法。1 欧拉图 图G中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路。存在欧拉回路的图称为欧拉图。 无向图欧拉图判定 无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。 有向图欧拉图判定 有向图G为欧拉图，当且仅当G的基图2连通，且所有顶点的入度等于出度。 欧拉回路性质 性质1 设C是欧拉图G中的一个简单回路，将C中的边从图G中删去得到一个新的图G’，则G’的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。 性质2 设C1、C2是图G的两个没有公共边，但有至少一个公共顶点的简单回路，我们可以将它们合并成一个新的简单回路C’。 欧拉回路算法 在图G中任意找一个回路C； 将图G中属于回路C的边删除； 在残留图的各极大连通子图中分别寻找欧拉回路； 将各极大连通子图的欧拉回路合并到C中得到图G的欧拉回路。 由于该算法执行过程中每条边最多访问两次，因此该算法的时间复杂度为O(|E|)。 如果使用递归形式，得注意|E|的问题。使用非递归形式防止栈溢出。 如果图 是有向图，我们仍然可以使用以上算法。 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1116 有向图欧拉图和半欧拉图判定 http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2337 输出路径 中国邮递员问题① 一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，可重复走一条街道，然后返回邮局。所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值。任何选择一条尽可能短的路线。 分析 双向连通，即给定无向图G。 如果G不连通，则无解。 如果G是欧拉图，则显然欧拉回路就是最优路线。 如果G连通，但不是欧拉图，说明图中有奇点3。奇点都是成对出现的，证明从略。 对于最简单情况，即2个奇点，设（u，v）。我们可以在G中对（u，v）求最短路径R，构造出新图G’ = G ∪ R。此时G’就是欧拉图。...