中国邮递员问题

1962年有管梅谷先生提出中国邮递员问题（简称CPP）。一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，可重复走一条街道，然后返回邮局。任何选择一条尽可能短的路线。

这个问题可以转化为：给定一个具有非负权的赋权图G，

  1. 用添加重复边的方法求G的一个Euler赋权母图G*，使得尽可能小。
  2. 求G*的Euler 环游。

人们也开始关注另一类似问题，旅行商问题（简称TSP）。TSP是点路优化问题，它是NPC的。而CPP是弧路优化问题，该问题有几种变形，与加权图奇点的最小完全匹配或网络流等价，有多项式算法。1

欧拉图

图G中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路。存在欧拉回路的图称为欧拉图。

无向图欧拉图判定

无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。

有向图欧拉图判定

有向图G为欧拉图，当且仅当G的基图2连通，且所有顶点的入度等于出度。

欧拉回路性质

性质1　设C是欧拉图G中的一个简单回路，将C中的边从图G中删去得到一个新的图G’，则G’的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。

性质2　设C1、C2是图G的两个没有公共边，但有至少一个公共顶点的简单回路，我们可以将它们合并成一个新的简单回路C’。

欧拉回路算法

  1.         在图G中任意找一个回路C；

  2.         将图G中属于回路C的边删除；

  3.         在残留图的各极大连通子图中分别寻找欧拉回路；

  4.         将各极大连通子图的欧拉回路合并到C中得到图G的欧拉回路。

由于该算法执行过程中每条边最多访问两次，因此该算法的时间复杂度为O(|E|)。

如果使用递归形式，得注意|E|的问题。使用非递归形式防止栈溢出。

如果图 是有向图，我们仍然可以使用以上算法。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1116 有向图欧拉图和半欧拉图判定

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2337 输出路径

中国邮递员问题①

一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，可重复走一条街道，然后返回邮局。所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值。任何选择一条尽可能短的路线。

分析

  • 双向连通，即给定无向图G。
  • 如果G不连通，则无解。
  • 如果G是欧拉图，则显然欧拉回路就是最优路线。
  • 如果G连通，但不是欧拉图，说明图中有奇点3。奇点都是成对出现的，证明从略。

对于最简单情况，即2个奇点，设（u，v）。我们可以在G中对（u，v）求最短路径R，构造出新图G’ = G ∪ R。此时G’就是欧拉图。

证明

u和v加上了一条边，度加一，改变了奇偶性。而R中其他点度加二，奇偶性不变。

由此可知，加一次R，能够减少两个奇点。推广到k个奇点的情况，加k/2个R就能使度全为偶数。

接下的问题是求一个k个奇点的配对方案，使得k/2个路径总长度最小。 这个就是无向完全图最小权匹配问题。有一种Edmonds算法，时间复杂度O（N^3）。4

也可转换为二分图，用松弛优化的KM算法，时间复杂度也是O（N^3）。

完整的算法流程

  1.     如果G是连通图，转2，否则返回无解并结束；

  2.     检查G中的奇点，构成图H的顶点集；

  3.     求出G中每对奇点之间的最短路径长度，作为图H对应顶点间的边权；

  4.     对H进行最小权匹配；

  5.     把最小权匹配里的每一条匹配边代表的路径，加入到图G中得到图G’；

  6.     在G’中求欧拉回路，即所求的最优路线。

中国邮递员问题②

和①相似，只是所有街道都是单向通行的。

分析

  • 单向连通，即给定有向图G。
  • 和①的分析一样，我们来讨论如何从G转换为欧拉图G’。

首先计算每个顶点v的入度与出度之差 d’（v）。如果G中所有的v都有d’（v）=0，那么G中已经存在欧拉回路。

d’（v）>0 说明得加上出度。d’（v）<0说明得加上入度。

而当d’（v）=0，则不能做任何新增路径的端点。

可以看出这个模型很像网络流模型。

顶点d’（v）>0对应于网络流模型中的源点，它发出d’（v）个单位的流；顶点d’（v）<0对应于网络流模型中的汇点，它接收-d’（v）个单位的流；而d’（v）=0的顶点，则对应于网络流模型中的中间结点，它接收的流量等于发出的流量。在原问题中还要求增加的路径总长度最小，我们可以给网络中每条边的费用值 设为图 中对应边的长度。这样，在网络中求最小费用最大流，即可使总费用最小。

构造网络N

  1.     其顶点集为图G的所有顶点，以及附加的超级源 和超级汇 ；

  2.     对于图G中每一条边(u,v)，在N中连边(u,v)，容量为∞，费用为该边的长度；

  3.     从源点 向所有d’(v)>0的顶点v连边(s,v)，容量为d’(v)，费用为0；

  4.     从所有d’(v)<0的顶点 向汇点t连边(u,t)，容量为-d’(v)，费用为0。

完整的算法流程

  1.     如果G的基图连通且所有顶点的入、出度均不为0，转2，否则返回无解并结束；

  2.     计算所有顶点v的d’(v)值；

  3.     构造网络N；

  4.     在网络N中求最小费用最大流；

  5.     对N中每一条流量f(u,v)的边(u,v)，在图G中增加f(u,v)次得到G’；

  6.     在G’中求欧拉回路，即为所求的最优路线。

NPC问题

如果部分街道能够双向通行，部分街道只能单向通行。这个问题已被证明是NPC的。5

//PKU 2337
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAX = 1100;
char str[MAX][25];
int n, in[MAX], out[MAX];
vector<string> words[30];
int vis[30];
int f[30], ss, is, os, ps;

int seq[MAX], step;
void find_euler(int pos) 
{
    int i,j;
    while(out[pos]) {
        for(; vis[pos] < words[pos].size() ;) {
            string snext = words[pos][ vis[pos] ];
            j = snext[snext.length() -1] -'a';
            out[pos] --;
            vis[pos] ++;
            find_euler(j);
        }
    }
    seq[step ++] = pos;
}

void union_f(int s,int e)
{
    int ts = s, te = e;
    while(s != -1 && f[s] != s) {
        s = f[s];
    }
    if(s == -1) {
        f[ts] = s = ts;
    }
    while(e != -1 && f[e] != e) {
        int t = e;
        e = f[e];
        f[t] = s;
    }
    if(e >= 0) {
        f[e] = s;
    }
}

int main()
{
    int t,i,j;
    scanf("%d", &t);
    while(t --) {
        scanf("%d", &n);
        getchar();
        for(i=0;i<30;i++) words[i].clear();
        memset(in,0,sizeof(in));
        memset(out,0,sizeof(out));
        memset(f,-1,sizeof(f));
        ss = is = os = ps = 0;
        for(i=0;i<n;i++) {
            gets(str[i]);
            int len = strlen(str[i]);
            int chs = str[i][0] -'a';
            int che = str[i][len-1] -'a';
            words[chs].push_back(string(str[i]));
            in[che] ++;
            out[chs] ++;
            union_f(chs, che);
        }
        bool flag = true;
        for(i=0;i<30;i++) {
            if(f[i] == i) ss ++;
            if(in[i] == out[i] +1) os ++;
            else if(in[i] +1 == out[i]) is ++;
            else if(in[i] != out[i]) flag = false;
        }
        if(ss > 1) flag = false;
        if( !(os==0 && is==0) && !(os==1 && is==1) ) flag = false;
        if(!flag) {
            puts("***");
        }
        else {
            int spos;
            if(os == 1 && is == 1) {
                for(i=0;i<30;i++) {
                    if(in[i] +1 == out[i]) {
                        spos = i;
                        break;
                    }
                }
            }
            else {
                for(i=0;i<30;i++) {
                    if(f[i] != -1) {
                        spos = i;
                        break;
                    }
                }
            }
            for(i=0;i<30;i++) sort(words[i].begin(), words[i].end());
            step = 0;
            memset(vis, 0, sizeof(vis));
            find_euler(spos);
            //memset(vis, 0, sizeof(vis));
            for(i=step-1;i>0;i--) {
                spos = seq[i];
                string snext;
                for(j=0;j<words[spos].size();j++) {
                    snext = words[spos][j];
                    if(seq[i-1] == snext[snext.length() -1] -'a') {
                        words[spos].erase(words[spos].begin() +j);
                        break;
                    }
                }
                printf("%s", snext.c_str());
                if(i>1) putchar('.');
            }
            puts("");
        }
    }
}

  1. 大城市邮政投递问题及其算法研讨 ↩︎

  2. 忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图。 ↩︎

  3. 度为奇数的顶点称为奇点。 ↩︎

  4. J. Edmonds, E. Johnson　《Matching, Euler tours, and the Chinese postman》 ↩︎

  5. C. Papadimitriou　《The complexity of edge traversing》 ↩︎