algorithm

这篇文章是在没有搭建这个Blog之前帮jobbole翻译的，现在只是复制回来自己做个存档，jobbole链接在这。 假如你对数独解法感兴趣，你可能听说过精确覆盖问题。给定全集 X 和 X 的子集的集合 Y ，存在一个 Y 的子集 Y*，使得 Y* 构成 X 的一种分割。 这儿有个Python写的例子。 X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Y = { 'A': [1, 4, 7], 'B': [1, 4], 'C': [4, 5, 7], 'D': [3, 5, 6], 'E': [2, 3, 6, 7], 'F': [2, 7]} 这个例子的唯一解是['B', 'D', 'F']。 精确覆盖问题是NP完备（译注：指没有任何一个够快的方法可以在合理的时间内，意即多项式时间 找到答案）。X算法是由大牛高德纳发明并实现。他提出了一种高效的实现技术叫舞蹈链，使用双向链表来表示该问题的矩阵。 然而，舞蹈链实现起来可能相当繁琐，并且不易写地正确。接下来就是展示Python奇迹的时刻了！有天我决定用Python来编写X 算法，并且我想出了一个有趣的舞蹈链变种。 算法 主要的思路是使用字典来代替双向链表来表示矩阵。我们已经有了 Y。从它那我们能快速的访问每行的列元素。现在我们还需要生成行的反向表，换句话说就是能从列中快速访问行元素。为实现这个目的，我们把X转换为字典。在上述的例子中，它应该写为 X = { 1: {'A', 'B'}, 2: {'E', 'F'}, 3: {'D', 'E'}, 4: {'A', 'B', 'C'}, 5: {'C', 'D'}, 6: {'D', 'E'}, 7: {'A', 'C', 'E', 'F'}} 眼尖的读者能注意到这跟Y的表示有轻微的不同。事实上，我们需要能快速删除和添加行到每列，这就是为什么我们使用集合。另一方面，高德纳没有提到这点，实际上整个算法中所有行是保持不变的。...

题目内容 百度搜索框的suggestion,比如输入北京，搜索框下面会以北京为前缀，展示“北京爱情故事”、“北京公交”、“北京医院”等等搜索词。 如何设计使得空间和时间复杂度尽量低。 ...

这篇是从老blog里复制出来，用markdown格式更新了下，纯当练手。 介绍 Bloom Filter是一种简单的节省空间的随机化的数据结构，支持用户查询的集合。一般我们使用STL的std::set, stdext::hash_set，std::set是用红黑树实现的，stdext::hash_set是用桶式哈希表。上述两种数据结构，都会需要保存原始数据信息，当数据量较大时，内存就会是个问题。如果应用场景中允许出现一定几率的误判，且不需要逆向遍历集合中的数据时，Bloom Filter是很好的结构。 优点 查询操作十分高效。 节省空间。 易于扩展成并行。 集合计算方便。 代码实现方便。 有误判的概率，即存在False Position。 无法获取集合中的元素数据。 不支持删除操作。 缺点 有误判的概率，即存在False Position。 无法获取集合中的元素数据。 不支持删除操作。 ...

中国邮递员问题 1962年有管梅谷先生提出中国邮递员问题（简称CPP）。一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，可重复走一条街道，然后返回邮局。任何选择一条尽可能短的路线。 这个问题可以转化为：给定一个具有非负权的赋权图G， 用添加重复边的方法求G的一个Euler赋权母图G*，使得尽可能小。 求G*的Euler 环游。 人们也开始关注另一类似问题，旅行商问题（简称TSP）。TSP是点路优化问题，它是NPC的。而CPP是弧路优化问题，该问题有几种变形，与加权图奇点的最小完全匹配或网络流等价，有多项式算法。1 欧拉图 图G中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路。存在欧拉回路的图称为欧拉图。 无向图欧拉图判定 无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。 有向图欧拉图判定 有向图G为欧拉图，当且仅当G的基图2连通，且所有顶点的入度等于出度。 欧拉回路性质 性质1　设C是欧拉图G中的一个简单回路，将C中的边从图G中删去得到一个新的图G’，则G’的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。 性质2　设C1、C2是图G的两个没有公共边，但有至少一个公共顶点的简单回路，我们可以将它们合并成一个新的简单回路C’。 欧拉回路算法 在图G中任意找一个回路C； 将图G中属于回路C的边删除； 在残留图的各极大连通子图中分别寻找欧拉回路； 将各极大连通子图的欧拉回路合并到C中得到图G的欧拉回路。 由于该算法执行过程中每条边最多访问两次，因此该算法的时间复杂度为O(|E|)。 如果使用递归形式，得注意|E|的问题。使用非递归形式防止栈溢出。 如果图 是有向图，我们仍然可以使用以上算法。 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1116 有向图欧拉图和半欧拉图判定 http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2337 输出路径 中国邮递员问题① 一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，可重复走一条街道，然后返回邮局。所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值。任何选择一条尽可能短的路线。 分析 双向连通，即给定无向图G。 如果G不连通，则无解。 如果G是欧拉图，则显然欧拉回路就是最优路线。 如果G连通，但不是欧拉图，说明图中有奇点3。奇点都是成对出现的，证明从略。 对于最简单情况，即2个奇点，设（u，v）。我们可以在G中对（u，v）求最短路径R，构造出新图G’ = G ∪ R。此时G’就是欧拉图。...

最近看数论，转头重新思考了这题，参考了下论文和lrj的黑书，重新证明一遍，做个笔记。 例题：HDOJ 1792 A New Change Problem 题意：给定A和B，A和B互质，求最大不能组合数，和不能组合数的个数。 基础知识： $$\gcd(A, B) = 1 \Rightarrow \operatorname{lcm}(A, B) = AB$$ 剩余类，把所有整数划分成$m$个等价类，每个等价类由相互同余的整数组成 任何数分成$m$个剩余类，分别为 $mk，mk+1，mk+2，\cdots，mk+(m-1)$ 分别记为$\{0(\mod m)\}，\{1(\mod m)\}$ 而$n$的倍数肯定分布在这$m$个剩余类中 因为$\gcd(m，n)=1$，所以每个剩余类中都有一些数是$n$的倍数，并且是平均分配它的旁证，可见HDOJ 1222 Wolf and Rabbit 设 $k_{min} = \min \{ k \mid nk \in \{i (\mod m)\} \},~ i \in [0, m)$ 则 $nk_{min}$ 是$\{i (mod m)\}$中$n$的最小倍数。特别的，$nm \in \{0 (\mod m)\}$ $nk_{min}$ 是个标志，它表明$\{i (\mod m)\}$中$nk_{min}$ 后面所有数，即$nk_{min} + jm$必定都能被组合出来 那也说明最大不能组合数必定小于$nk_{min}$ 我们开始寻找$\max\{ nk_{min} \}$ $\operatorname{lcm}(m, n) = mn$，所以很明显$(m-1)n$是最大的...

当 $\gcd(m, n) = 1$时，我们称 $m$和$n$互素。 约定用 $m\bot n$来表示两者互素。 $$m / \gcd(m, n) ;\bot; n / \gcd(m, n)$$ 由 gcd和素数序列的关系我们可以得出 $$k \bot m \text{ and } k \bot n \Leftrightarrow k \bot mn$$ 书上看到一种很好玩的一种构造算法。 用来构造所有具有 $m\bot n$的非负分数 $m/n$集合，称为Stem-Brocot tree。 建树思想是： 从两个分数$（0/1， 1/0）$开始，重复以下操作，在两个邻接的分数 $m/n$和 $m'/n'$之间插入 $(m+m')/(n+n')$。 这颗树构造能保证相同分数不会出现两次，基于以下事实： 如果在任何构造阶段 $m/n$和 $m'/n'$是相继的分数，则有 $m’n - mn' = 1$ 证明： 开始时，$11 - 00 = 1$满足条件，计算出中间值 $(m+m')/(n+n')$后， $ \begin{array}{l} (m + m')n - m(n + n') = 1 ;\\ m'(n + n') - (m + m')n' = 1 ; \end{array} $...